< link link link >

Om dioden för enkelhets skull antages planparallell är, om katoden är kall, potentialfördelningen i röret linjär precis som i en plankondensator. Upphettas katoden kommer en negativ rymdladdning (=laddning per volymsenhet) att utbildas mellan katod och anod och denna rymdladdning bör vara störst i katodens närhet, eftersom de emitterade elektronerna där ej hunnit nämnvärt accelereras i anod-katodfältet. Närvaron av den negativa rymdladdningen sänker potentialen så att potentialfördelningen i röret ej längre blir linjär. Problemet att under dessa omständigheter beräkna strömmen genom röret försvåras av att olika elektroner starta från katoden med olika hastigheter (fig. C1.6).

Låt oss emellertid försöka oss på en beräkning under följande idealiserade antaganden:

Dioden är planparallell och anod-katodavståndet är så litet jämfört med anodens och katodens diemensioner, att randeffekter kan försummas.
Alla elektroner startar från katodytan med en och samma utgångshastighet v₀.

Vi sätter

där e är elektronladdningens belopp och m elektronens massa. u_m (volt) benämner vi det mot hastigheten v₀ svarande elektronvolttalet. Detta är alltså spänningen över det elektriska fält, som elektronen utan begynnelsehastighet måste genomlöpa för att erhålla den uppgivna hastigheten v₀.

Utöver ovannämnda beteckningar v₀ och u_m inför vi (se fig. C1.8):

N(x) = antal elektroner/volymsenhet på avståndet x från katoden,
v(x) = elektronhastigheten i planet x,
u(x) = potentialen relativt katoden i planet x,
D(x) = elektriska flödestätheten i planet x,
K(x) = elektriska fältstyrkan i planet x,
ia0 = anodlikströmmen
ua0 = anodlikspänningen,
A = katod- och anodarea samt
d = katodavstånd.

		Låt oss betrakta en ur rymdladdningen utskuren skiva med tjockleken dx och arean A. Skivans volym är A·dx, antalet elektroner i skivan är N(x)·A·dx och laddningen i skivan är därför -e·N(x)·A·dx . Eftersom randeffekter försummats blir det elektriska flöde, som netto går ut från skivan A[D(x + dx) - D(x)] . Enligt ellärans flödessats (elektriska flödet genom en
Fig. C1.8

sluten uta är lika med den av ytan inneslutna laddingen) erhålles.

som efter limesövergång

ger

Vidare är

eller

.

Vi kan nu ställa upp följande fyra ekvationer

Elimineras v(x) och N(x) ur detta ekvationssystem får vi följande differentialekvation i u(x)

Differentialekvationen ovan blir något enklare om vi inför en ny funktion V(x) = u(x) + u_m. Vi får

Vi multiplicerar med 2·dV/dx och får

som kan skrivas

Denna ekvation kan vi lätt integrera och därmed få reda på hur potentialen i röret varierar med x. Vid integrationen observerar vi problemets randvillkor. För något visst x-värde (som vi betecknar x_m) måste potentialen i dioden sjunka till ett minimum -um d.v.s. u(x_m) = - u_m.
Tänkt igenom varför. (Ledning: hur går det med strömmen i_a0 genom dioden, om potentialminimumet är > respektive < -u_m ?). Potentialen i röret

måste alltså variera ungefär som i vidstående fig. C1.9.

Vi integrerar därför lämpligen vår differentialekvation från x = x_m till den godtyckliga koordinaten x.

För x = x_m gäller:

Fig. C1.9

Vi får alltså

som ger

Ny integration mellan samma gränser ger

d.v.s.
eller

Vi har sålunda fätt ett uttryck på potentialfördelningen i röret. Tydligen måste nu det hittills obekanta x_m ha ett sådant värde, att u(0) = 0, vilket leder till sambandet C1.6 nedan. Om vi slutligen i uttrycket på u(x) ovan sätter x = d så blir u(d) = u_a0 och om vi inför uttrycket på α och löser ut i_a0, så får vi sambandet C1.5 nedan d.v.s. ekvationen för diodens i_a0-u_a0-karaktäristik.

Med hjälp av den ovan skisserade beräkningsgången bör nu den mattematiskt intresserade läsaren lätt kunna verifiera riktigheten hos följande sammanfattande resultat.

där	C1.5
där	C1.6
. Vidare är	C1.7
	C1.8
	C1.9
	C1.10
	C1.11

Om elektronernas begynnelsehstighet försummas ( v₀=0 d.v.s. u_m=0) blir x_m = 0 och K₀ = 0 och sambanden ovan får den enklare formen:

	C1.12
	C1.13
	C1.14
,	C1.15, C1.16

I kurvform får sambanden C1.8 - C1.11 följande allmänna utseende (heldragna kurvor). Som jämförelse (streckade kurvor) har i diagrammen inritats motsvarande kurvor, om elektronernas begynnelsehastighet vid katoden är noll (sambanden C1.13 - C1.16).


Potentialfördelningen Fig. C1.10		Fältstyrkefördelningen Fig. C1.11

Elektronhastigheten Fig. C1.12		Elektrontätheten (rymdladdningen) Fig. C1.13

Vi observerar alltså (fig. C1.10), att ett potentialminimum eller katodtröskel utbildas framför katoden och att vi där har en utpräglad rymdladdning (fig. C1.13). Av sambanden C1.6 och C1.7 framgår, att ju större anodströmmen är desto närmare katoden utbildas katodtröskeln.
Dock får vi ej glömma, att vi behandlat ett idealt fall, där samtliga elektroner antogs starta från katoden med en och samma begynnelsehastighet v₀. Hur ställer det sig nu i praktiken, när elektronerna har olika begynnelsehastighet (fig. C1.6) ? Att ett potentialminimum utbildas även i detta fall bör väl vara klart och det är väl även rimligt antaga att potentialminimumet u_m får ett sådant värde, att de snabbaste elektronerna kan passera minimet medan de långsamaste återvänder till katoden. Betraktar vi fig. C1.10 bör vi kunna tänka oss vår praktiska diod som bestående av två seriekopplade dioder, en arbetande i begynnelseområdet och en arbetande i rymdlaggningsområdet (fig. C1.14). Strömmen i diod 1 bör därför bestämmas av sambandet C1.2, d.v.s. vi bör ha

C1.17

och eftersom potentialkurvan i diod 2 närmast övernsstämmer med den streckade kurvan i fig. C1.10 bör strömmen i diod 2 följa ekvation C1.12 med u_a0 utbytt mot u_a0 + u_m och d utbytt mot d - x_m , d.v.s.

Även i praktiken bör vi sålunda få den redan härledda ekvationen C1.5 med den skillnaden, att um nu blir en funktion av anodströmmen.

Fig. C1.14

Löser vi nämligen ut u_m ur C1.17 ovan får vi

C1.18

varav framgår, att katodtröskelns höjd påverkas av anodströmmen. En temperaturhöjning hos katoden bör ha liten inverkan på anodströmmen, ty ökningen i katodens emissionsförmåga motverkas av tröskelns tillväxt. Går vi tillbaka till sambanden C1.6 och C1.7 ser vi att även katodtröskelns läge påverkas av anodströmmen, varför vi sammanfattar våra resultat i följande viktiga sats: Det är genom påverkan av katodtröskelns höjd och läge, som anoden genom sin spänning har förmåga att kontrollera anodströmmen.

    Ökas anodspänningen kraftigt elimineras katodtröskeln och rymdladdningsområdet går kontinuerligt över i mättningsområdet. Detta antydes för övrigt av sambandet C1.18, som ger u_m = 0 när i_a0 = i_a0max.

    Vad vi ovan sagt om den planparallella dioden gäller i princip även för dioder med godtycklig geometri.

    Jämför vi slutligen vårt experimentella samband C1.3, som lyder

med vårt teoretiska uttryck C1.5, som lyder

så finner vi, att

Sålunda är, som tidigare påpekats, för m = 3/2 varken Δu_a0 eller β verkliga konstanter, ty båda beror i någon mån av anodströmmen i_a0.

link >