< link link link >

Inf�randet av motkoppling i ett system medf�r alltid viss risk f�ra instabilitet, d.v.s. sj�lvsv�ning. Om en f�rst�rkare har frekvensoberoende egenskaper betyder motkoppling vid en frekvens ocks� motkoppling vid alla andra frekvenser. Alla praktiska f�rst�rkare har emellertid frekvensberoende egenskaper, vilket g�r motkopplingsproblemet mera invecklat.
L�t oss genomf�ra ett tankeexperiment med systemet engligt fig. F3.21 d�r s�v�l F som

antages vara komplexa funktioner av frekvensen.


	Fig. F3.21. Schema, anv�nt f�r stabilitetsunders�kning.

F�rst�rkaren antages matad av sinusgeneratorn G , som ger sp�nningen U'₁. Utsignalen fr�n f�rst�rkaren blir

Antag nu att generatorfrekvensen w varieras fr�n noll till o�ndligheten och att utsp�nningen fr�n �terkopplingsfyrpolen (

) hela tiden m�tes till s�v�l amplitud (

) som fas (

). Vid n�gon frekvens kan det d� intr�ffa, att sp�nningen mellan punkten 2 och 0 ligger i fas med och har samma amplitud som generatorsp�nningen U'₁. d.v.s med figurens riktningsbeteckningar g�ller att

Om och n�r detta intr�ffar, f�res omkopplaren S hastigt �ver fr�n l�ge 1 till l�ge 2. H�rigenom �ndras ingenting i systemet och vi kan d�rf�r v�nta oss, att systemet forts�tter att arbeta, trots att signalk�llan G bortkopplats. Systemet kan v�ntas sj�lvsv�nga.

Enligt v�rt resonemang fordras f�r sj�lvsv�ngning att vid n�gon frekvens villkoret

Eftersom

kan detta villkor �ven skrivas

F3.35

Villkoret F3.35 kan vi �ven uttrycka med det s.k. amplitudbalansvillkoret och fasbalansvillkoret:

F3.36

d�r n = 0, 1, 2, 3........

Om man vid experiment ovan vid n�gon frekvens funnit, att amplituden p� sp�nningen mellan 2 och 0 d�rvid haft samma fasl�ge som xx och att sp�nningen mellan 2 och 0 d�rvid haft samma fasl�ge som U'₁, visar ett liknande resonemang, att man f�r sj�lvsv�ngning med v�xande amplitud vid omkopplarens oml�ggning fr�n l�ge 1 till l�ge 2 (se h�rtill avsnitt H1.01).
Villkoret f�r sj�lvsv�ngning kan d�rf�r formuleras p� f�ljande s�tt

F3.37

som ben�mnes Barkhausens sj�vsv�ngningskriterium.

I belysning av v�rt sv�ngningskriterium kan vi s�ga, att sj�lvsv�ngningen uppkommer p� grund av att �terkopplingen vid en viss frekvens blir positiv och vid samma frekvens har stor styrka.

V�r motkopplade f�rst�rkare f�r emellertid ej sj�lvsv�nga. Villkoret h�rf�r blir:

F3.38

d�r n = 0, 1, 2, 3........

Med denna formulering ben�mnes sambandet F3.38 Barkhausens stabilitetskriterium, som �r ett tillr�ckligt men i vissa fall ej n�dv�ndigt villkor f�r stabilitet i en �terkopplad f�rst�rkare.

Om vi i komplexa talplanet ritar den kurva, som komplexa slingf�rst�rkningsvisarens spets beskriver, d�

varieras fr�n 0 till

, f�r vi slingf�rst�rkningens Nyquist-diagram (j�mf�r avsnitt F2.04).

Antag att detta diagram f�r fem olika motkopplade f�rst�rkare har utseendet enligt kurva

i fig. F3.22. Kurva

sk�r negativa realaxeln p� ett avst�nd fr�n origo, som �r mindre �n ett, d.v.s.

. Kurva

representerar allts�

		enligt kriteriet F3.38 stabila f�rst�rkare. F�r kurva g�ller, att , d� , varf�r dessa kurvor representerar instabila f�rst�rkare. Kurva�r ett matematiskt gr�nsfall, som har , d� och skall enligt kriteriet F3.38 h�nf�ras till de instabila fallen. Barkhausens stabilitetskriterium inneb�r allts�, att slingf�rst�rkningens Nyquist-diagram ej f�r sk�ra negativa realaxeln i eller till v�nster om punkten -1+j0.
Fig. F3.22. Komplexa slingf�rst�rkningens Nyquist-diagram f�r fem olika motkoppklade f�rst�rkare.

Det kan nu vara l�mpligt att diskutera ett praktiskt exempel. En typisk 3-stegs RC-kopplad f�rst�rkare med identiskt lika steg antages ha ett signalschema enligt fig. F3.23. F�rst�rkaren motkopplas enligt figuren och vi fr�gar oss, vilket �r det st�rsta v�rde p� resistansen R, som kan till�tas, utan risk f�r sj�lvsv�ngning?

F�r f�rst�rkaren antages f�ljande data g�lla:

Vi inf�r

R utg�r, som framg�r av figuren, en del av resistansen R_g.


	Fig. F3.23. 3-stegs RC-kopplad f�rst�rkare.

Med figurens riktningsbeteckningar blir

F3.39

Den motkopplade f�rst�rkarens komplexa f�rst�rkning blir enligt sambandet F3.3

F3.40

d�r

den �ppna f�rst�rkarens komplexa f�rst�rkning och F = det enskilda stegets komplexa f�rst�rkning.

Vid medelh�g frekvens �r

F3.41

d�r

det enskilda stegets f�rst�rkning vid medelh�g frekvens (se ekv. F2.8).

Vid l�g frekvens g�ller f�r ett steg

F3.42

d�r

det enskilda stegets undre gr�nsfrekvens (se ekv. F2.13).

Vid h�g frekvens g�ller f�r ett steg

F3.43

d�r

det enskilda stegets �vre gr�nsfrekvens (se ekv. F2.15).

Komplexa slingf�rst�rkningen vid l�g frekvens erh�lles ur sambanden F3.39 och F3.42:

	F3.44
	F3.45

Vid en viss l�g frekvens f₁ blir


	F3.46

Komplexa slingf�rst�rkningen vi h�g frekvens erh�lles ur sambanden F3.39 och F3.43:

	F3.47
	F3.48

Vid en viss h�g frekvens f2 blir


	F3.49

Enligt ovan finns det allts� tv� frekvenser

, vid vilka risk f�r sj�lvsv�ngning f�refinnes. Enligt kriteriet F3.38 m�ste vid dessa frekvenser

, om sj�lvsv�ngning skall undvikas, F�r stabilitet fordras allts�, att

Allts� skall


	F3.50

R m�ste allts� v�ljas mindre �n 44 ohm, om den motkopplade f�rst�rkaren skall vara stabil.

Med det ber�knade kritiska v�rdet p�

f�r vi vid medelh�g frekvens (f = f₀):

Slingf�rst�rkningen m�ste s�lunda vid medelh�g frekvens understiga v�rdet 8, ty i annat fall blir

, n�got som resulterar i sj�lvsv�ngning vid l�ga och h�ga frekvenser. En �kad motkoppling vid medelh�g frekvens ger allts� positiv �terkoppling vid b�de l�ga och h�ga frekvenser i detta fall. Slingf�rst�rkningsv�rdet 8 inneb�r �ven (se sambandet F3.8), att distorsionen endast kan minskas mindre �n 9 g�nger.

I fig. F3.24 nedan har Nyquist-diagrammet f�r komplexa slingf�rst�rkningen

respektive.

		J�mf�r vi med diskussionen p� sid. F3.20 inneb�r de b�da sistn�mnda v�rdena, att f�rst�rkaren �r instabil, medan v�rdet 6 inneb�r en stabil f�rst�rkare. Det kan t�nkas intr�ffa, att slingf�rst�rkningens Nyquist diagram f�r en viss f�rst�rkare f�r det i fig. F3.25 skisserade utseendet. Mellan punkterna a och b p� negativa realaxeln �r . Enligt Barkhausens kriterium F3.37 �r f�rst�rkaren d� instabil. Nyquist har emellertid teoretiskt visat och praktiska f�rs�k visar �ven, att ett diagram enligt fig. F3.25 representerar en stabil f�rst�rkare (en s.k. villkorligt stabil f�rst�rkare). Observera i detta sammanhang p�pekandet p� sid. F3.19, att Barkhausenvillkoret F3.38 �r ett tillr�ckligt men ej n�dv�ndigt villkor f�r stabilitet.
Fig. F3.24. Komplexa slingf�rst�rkningens Nyquist-diagram i en 3-stegs RC-kopplad f�rst�rkare.

Enligt Nyquist �r en f�rst�rkare stabil, om slingf�rst�rkningskurvan i Nyquist-diagrammet ej innesluter punkten -1+j0. Detta n�mnt som en orientering.

		Ett n�rmare studium av hith�rande fr�gor sker inom reglertekniken. I detta sammanhang b�r n�mnas, att information ang�ende en f�rst�rares stabilitet �ven kan erh�llas genom studiumav slingf�rst�rkningens Bode-diagram. Studerar vi allj�mt v�r 3-stegsf�rst�rkare, s� har vi enligt sambandet F3.47 vid h�g frekvens:
Fig. F3.25. Exempel p� Nyquist-diagram f�r en villkorligt stabil f�rst�rkare.

F3.51

Vi uttrycker slingf�rst�rkningen

i dB och f�r

F3.52

d�r f'' = 0,28 MHz enligt tidigare ber�kning.

I fig. F3.26 nedan har med ledning av sambandet F3.52 slingf�rst�rkningens asymptotiska och verkliga beloppkurva ritats f�r n�gra olika v�rden p� slingf�rst�rkningen vid medelh�g frekvens (n�gra olika v�rden p�

).
Vidare har i diagrammet den frekvens, vid vilken

, markerats. Denna frekvens �r enligt tidigare ber�kning

(se sambandet F3.49).


	Fig. F3.26. Slingf�rst�kningen vid h�g frekvens, presenterad i ett Bode-diagram, d�r s�v�l asymptotiska som verkliga beloppkurvor utritats.

Studerar vi diagrammets verkliga beloppkurvor finner vi f�r kurva

att

vid f=0,49MHz, d.v.s. d�

. Kurva

inneb�r allts� enligt kriteriet F3.38 instabilitet, vilket vi tidigare konstaterat f�r detta fall (j�mf�r fig. F3.24).

Kurva

(verkliga beloppkurvan) passerar genom 0 dB, d� F = 0,49 MHz, d.v.s.

. Detta �r v�rt tidigare gr�nsfall och det skall r�knas till de instablila fallen. F�r kurva

slutligen �r

vid f=0,49 MHz och f�rst�rkaren �r s�lunda stabil.

     Hade vi bed�mt f�rst�rkaren enbart med ledning av de asymptotiska kurvorna, hade vi eventuellt befarat instabilitet i samtliga tre fall, eftersom all asymptotkurvorna har ett dB-tal, som �r st�rre �n noll vid f = 0,49 MHz. Hade vi � andra sidan dimensionerat f�rst�rkaren s� att de asymptotiska beloppkurvorna passerat under 0-dB-punkten vid f = 0,49 MHz, s� hade f�rst�rkaren med god marginal varit stabil.

     Ett resonemang av den typ vi ovan f�rt kan givetvis genomf�ras �ven vid l�g frekvens.

     Kurvorna i fig. F3.26 ger oss en tankest�llare: om kurvorna i trakten av transmissionsomr�dets gr�ns fallit snabbare (brantare) med frekvensen, s� skulle niv�n vid medelh�g frekvens kunnat h�jas (motkopplingsgraden �kas) utan risk f�r sj�lvsv�ngning

.
Det vore s�lunda f�rdelaktigt om de kretsar, som utg�r kopplingen mellan stegen i v�r 3-stegsf�rst�rkare, eller om �terkopplingsfyrpolen kunde utformas s�, att amplituden

�ndras snabbt vid transmissionsomr�dets gr�nser samtidigt som fasvridningen �ndras l�ngsamt med frekvensen. Att systematiskt studera olika n�tverks amplitud- och fasegenskaper vore d�rf�r ett fruktb�rande arbete, som emellertid ligger utanf�r denna framst�llning men som upptages till behandling i reglertekniken.

link >