< link link link >

    För framtagning av det s.k. Smith-diagrammet utgår vi från sambandet J1.96 (sid. J1.25), d.v.s. uttrycket för komplexa reflexionsfaktorn ρ_u

		vid belastningen, vars komplexa impedans här betecknas med Z (se fig. J2.2).     Vi har
Fig. J2.2

J2.2

där z = r + jx är det i föregående avsnitt introducerade komplexa impedanstalet. Vi löser ut z ur sambandet J2.2, inför ρ_u = u + jv och får


    Separering av real- och imaginärdelar ger de båda sambanden

J2.3a J2.3b

    Ur sambandet J2.3a erhålles


eller


    Uttrycket kan nu skrivas under den slutgiltiga formen

J2.4

    Sambandet J2.4 representerar i ett u-v-koordinatsystem en cirkel med radien  och medelpunkten i . Se härtill fig. J2.3, där cirklar uppritas för r = 0, 0,5, 1, 2 och ∞ . Cirklar med r < 0 är ej aktuella, om z skall vara ett fysikaliskt realiserbart impedanstal.

		På analogt sätt visar läsaren, att sambandet J2.3b kan skrivas under formen J2.5     Sambandet J2.5 representerar i ett u-v-koordinatsystem en cirkel med radien  och medelpunkten i  . I fig. J2.4 nedan har dylika cirklar ritats för x = 0, ±0,5, ±1, och ±2.
Fig. J2.3

För x = ±∞ övergår cirkeln i punkten u = 1, v = 0, något som även var fallet i fig. J2.3, då r = ∞.

	Fig. J2.4

     Lägger vi de båda cirkelskarorna (fig. J2.3 och J2.4) på varandra med sammanfallande axlar får vi ett diagram enligt fig. J2.5, där några cirklar

		(r = 0, 0,5 och 1 samt x = 0, ±0,5 och ±1) utritats. Som förut påpekats måste alla fysikaliskt realiserbara impedanstal ligga inom en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo (cirkeln för r = 0). Detta är orsaken till att diagrammet i fig. J2.5 begränsas till att omfatta området innanför nämnda cirkel.     Är belastningens impedanstal känt (exempelvis z = 1 + j ; punkten A i diagrammet fig. J2.5), kan vi direkt i diagrammet avläsa den häremot svarande komplexa reflexionsfaktorn ρu, d.v.s. dess absolutbelopp │ρu│och fasvinkel θ.
Fig. J2.5

kan givetvis även gå den motsatta vägen och bestämma belastningens impedanstal z = r + jx, om │ρ_u│och θ är kända.

    Vi kan, om vi så önskar, betrakta u-v-planet som ett komplext talplan med realaxel (u) och imaginäraxel (v), i vilket ρ_u-visaren åskådliggöres, varvid r- och x-cirklarna är ortkurvor för ρ_u-visarens spets, då r respektive x är konstant.

    Enligt sambandet J1.120 är

J2.6

och enligt sambandet J1.118b är

J2.7

om d_m är avståndet mellan belastningen och närmaste spänningsminimum. I diagrammet fig. J2.6 har θ = 2βd_m - π avsatts moturs  från horisontalaxeln.

    Varje diagrampunkt inom enhetscirkeln i fig. J2.5 motsvaras av ett värdepar (r, x) och varje värdepar inom enhetscirkeln i fig. J2.6 motsvaras av ett värdepar (S, βd_m). Ritar vi det senare diagrammet på genomskinligt papper och lägger det ovanpå diagrammet enligt fig. J2.5 (sammanfallande koordinataxlar och samma radie på enhetscirklarna), så uppkommer ett dubbeldiagram, där varje diagrampunkt motsvarar två värdepar.

		Av uppmätta värden på S och βdm (stående-våg-mätning) kan man alltså med hjälp av dubbeldiagrammet utan räkning bestämma r och x hos belastningen och vice versa. Övning: Visa att S-cirkeln för S = k (k = konstant) skär positiva u-axeln i samma punkt som r-cirkeln för r = k.     Det ovan nämnda dubbeldiagrammet är det s.k. Smith-diagrammet. Cirklar för konstant S utritas dock ej, utan alla erforderliga S-cirklar (│ρu│- cirklar)
Fig. J2.6

ritar vi själva vid diagrammets användning. Ett praktiskt Smith-diagram brukar utformas i enlighet med fig. J2.9 (sid. J2.7).

		För att få ytterligare insikt i Smith-diagrammets användning studerar vi en med komplexa impedanstalet z2 = r2 + jx2 belastad förlustfri ledning med längden s (s > 3/4⋅λ). Se härtill fig. J2.7.     Vi uppsöker först den mot z2 svarande punkten i Smith diagrammet (punkten
Fig. J2.7

A i fig. J2.8) Om diagrammets periferi är försedd med en vinkelskala (som i fig. J2.9) kan vi direkt avläsa reflexionsfaktorns fasvinkel θ.

		│ρu│ kan vi bestämma genom att mäta ρu-visarens längd. I fig. J2.8 är visarens längd 26,5 mm. Diagrammets radie (r=0 cirkelsens radie) är 38,0 mm, varför vi får     Enligt sambandet J1.95 är komplexa reflexionsfaktorn på ett godtyckligt avstånd d från belastningen
Fig. J2.8

(γ = jβ i förlustfria fallet)

J2.8

    ρ_ud-visaren har samma längd som ρ_u-visaren, men den är vriden vinkeln 2βd medsols i förhållande till ρ_u-visaren (visarspetsen i punkten D i fig. J2.8). I punkten D får vi ett nytt värdepar (r, x), som ger det komplexa impedanstalet på ledningen på avståndet d från belastningen (se härtill även fig. J2.7). Fortsätter vi vridningen till punkten E (ledningsingången), kan vi i diagrammet direkt avläsa ledningens ingångsimpedanstal z₁ = r₁ + jx₁.

Om vi från punkten A vrider visaren ett varv, har vi


d.v.s. ett varvs vridning i diagrammet motsvarar en halv våglängds förflyttning på ledningen. Diagrammets periferi kan därför lämpligen förses med en våglängdsskala (jämför fig. J2.9, där vi har två våglängdsskalor, en graderad medsols och en motsols).

    Vi har ovan konstaterat att medsols vridning i diagrammet motsvarar förflyttning på ledningen i riktning från belastningen mot generatorn. Detta har i diagrammet fig. J2.9 utmärkts med texten "wavelengths toward generator" (våglängder i riktning mot generatorn). Lägg även märke till texten "wavelength toward load" (våglängder i riktning mot belastningen).

		Under medsols vridning från punkten A passerar visaren punkten B i diagrammet. På ledningen har vi då förflyttat oss en sträcka dM från belastningen. Sträckan dM är avståndet mellan belastningen och närmaste spänningsmaximum, ty i ett spänningsmaximum är impedanstalet rent resistivt och i diagrammet är x = 0 på horisontella axeln. Att det är fråga om ett spänningsmaximum framgår av
Fig. J2.9

sambandet J1.125 (sid. J1.34), som utsäger, att impedansen i ett spänningsmaximum är S⋅R₀, d.v.s. impedanstalet är resistivt och lika med S (S > 1). På högra delen av horisontella axeln (positiva u-axeln) är r > 1. Genom att i punkten B avläsa r-värdet (=k i fig. J2.8) får vi stående-våg-förhållandet ur sambandet r = S. (jämför övningsuppgiften på sid. J2.5).

    När visaren passerar punkten C i diagrammet måste vi av liknande skäl befinna oss i en spänningsminimumpunkt på ledningen (avståndet d_m från belastningen) och vi kan därför med ledning av sambandet J1.126 i punkten C avläsa r = 1/S. Enligt diagrammet är som väntat d_m - d_M = λ/4.

    Har vi på ledningen (med stående-våg-mätare) bestämt storheterna S och dm, kan vi utgå från punkten C och vrida visaren vinkeln 2βd_m (eller på diagrammets våglängsskala sträckan dm uttryckt i våglänger) "toward load". Vi hamnar då i punkten A och kan där avläsa belastningens impedanstal z₂ = r₂ + jx₂ . Det torde vara uppenbart, att alla spänningsminima är likaberättigade referenspunkter (vid försummad dämpning). Vi behöver alltså ej välja det minimum, som ligger närmast belastningen, eftersom en halv våglängds (eller heltalmultipel därav) förflyttning längs ledningen återför oss till samma diagrampunkt. Även spänningsmaxima kan användas som referenspunkter, men av praktiska mättekniska skäl användes endast spänningsminima som referenspunkter.

    Låt oss slutligen visa, att Smith-diagrammet i oförändrad form även gäller för admittanstal. Om en diagrampunkt definieras av komplexa impedanstalet z, så är motsvarande komplexa admittanstal


d.v.s. vi kan konstruera ett Smith-diagram för admittanstal genom att i det gamla diagrammet ändra tecken för såväl u som v. En dylik teckenändring sker, om alla  diagrampunkter "speglas" i origo enligt fig. J2.10. Diagrammet blir så när som på parametrarna identiskt med det gamla.

	Konstruktion av Smith-diagrammet för admittanstal Fig. J2.10

    I avsikt att utmärka Smith-diagrammets användning för såväl impedanstal som admittanstal har i fig. J2.9 r-skalan försetts med texten "per-unit resistance or conductance" (resistans- eller konduktanstal) och vidare har x-skalan försetts med texten "per-unit inductive reactance or capacitive susceptance" för positiva x-värden samt en motsvarande text för negativa axeln.

Övning: Beräkna med ledning av sambandet J1.81 (sid. J1.21) komplexa impedanstalet för en förlustfri ledning med längden λ/4. Ledningen är i fjärrändan belastad med komplexa impedanstalet z. Vilken anknytning har detta problem till fig. J2.10?

link >